Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(C{\rm{D}}\), cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là
A. \(\frac{{400}}{9}\).
B. \(\frac{{200}}{3}\).
C. \(\frac{{40}}{9}\).
D. \(\frac{{200}}{9}\).
A. \(\frac{{400}}{9}\).
B. \(\frac{{200}}{3}\).
C. \(\frac{{40}}{9}\).
D. \(\frac{{200}}{9}\).
Phương pháp giải
Sử dụng tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại \(N\).
Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P\).
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(Q\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MQ\parallel AD\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel \left( {ABCD} \right)\\MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\\MN,MQ \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2}\)
Ta có: \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {10^2} = 100\)
\(MN\parallel AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{4}{9}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{4}{9}.100 = \frac{{400}}{9}\)
Sử dụng tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại \(N\).
Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P\).
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(Q\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MQ\parallel AD\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel \left( {ABCD} \right)\\MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\\MN,MQ \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2}\)
Ta có: \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {10^2} = 100\)
\(MN\parallel AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{4}{9}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{4}{9}.100 = \frac{{400}}{9}\)
Đáp án A.