Google
Câu hỏi: Hình chóp D. ABC có \(DA \bot mp(ABC),\) đáy ABC là tam giác vuông tại B. Đặt AB = c, BC = a, AD = b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A. ${1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
B. ${1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
C. $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
D. $2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot DA\end{array} \right.\)\(\Rightarrow CB \bot \left( {DAB} \right) \Rightarrow CB \bot DB\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Dễ thấy các tam giác \(DAC, DBC, ABC\) vuông có cạnh huyền \(DC\) nên \(ID = IC = IA = IB\)
Do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}IA = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)
A. ${1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
B. ${1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
C. $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
D. $2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot DA\end{array} \right.\)\(\Rightarrow CB \bot \left( {DAB} \right) \Rightarrow CB \bot DB\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Dễ thấy các tam giác \(DAC, DBC, ABC\) vuông có cạnh huyền \(DC\) nên \(ID = IC = IA = IB\)
Do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}IA = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)
Đáp án B.