Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a, \) \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Vec tơ \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} \) có độ dài bằng bao nhiêu?
A. \(\dfrac{a}{2};\)
B. \(\dfrac{{3a }}{2};\)
C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3};\)
D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\)
Gọi D là trung điểm của AH ta có:
\(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right|\) \(= \left| {2\overrightarrow {CD} } \right| = 2CD\)
Ta có:
\(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow DH = \dfrac{1}{2}AH\) \(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt {C{H^2} + D{H^2}} \) \(= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left({\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CD\)\(= 2.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
A. \(\dfrac{a}{2};\)
B. \(\dfrac{{3a }}{2};\)
C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3};\)
D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\)
Gọi D là trung điểm của AH ta có:
\(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right|\) \(= \left| {2\overrightarrow {CD} } \right| = 2CD\)
Ta có:
\(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow DH = \dfrac{1}{2}AH\) \(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt {C{H^2} + D{H^2}} \) \(= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left({\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CD\)\(= 2.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
Đáp án D.