Bài 55 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM=MN=NB\).

Câu a​

Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).
Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} \)
Suy ra
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GC} \)
\(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\)

Câu b​

Đặt \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a , \overrightarrow {GB} = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} , \overrightarrow {AC} , \overrightarrow {GM} , \overrightarrow {CN} \).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} \\
= - \overrightarrow a - \overrightarrow b \\
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} \\
= - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow a \\
= - 2\overrightarrow a - \overrightarrow b
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} \\ = \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right)\\= \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} \\ = - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\= - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left({\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right)\\ = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a)\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)