Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = BE.\) Qua \(D\) và \(E\), vẽ các đường thẳng song song với \(BC,\) chúng cắt \(AC\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng \(DM + EN = BC.\)
Hướng dẫn: Qua \(N,\) kẻ đường thẳng song song với \(AB.\)
Hướng dẫn: Qua \(N,\) kẻ đường thẳng song song với \(AB.\)
Phương pháp giải
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
Từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AB \) cắt \(BC\) tại \(K.\) Nối \(EK.\)
Xét \(∆BEK\) và \(∆NKE\) có:
\(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong, \(EN // BC\))
\(EK\) cạnh chung
\(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong, \(NK // AB\))
\( \Rightarrow ∆BEK = ∆NKE\) (g.c.g)
\( \Rightarrow BE = NK; BK= NE\) (các cạnh tương ứng)
Vì \(DM//BC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}M} =\widehat B\) (hai góc đồng vị)
Vì \(NK//AB\) nên \(\widehat B= \widehat {NKC}\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\)
Xét \(∆ADM\) và \(∆NKC\) có:
\(\widehat A = \widehat {KNC}\) (hai góc đồng vị, \(NK // AB\))
\(AD = NK\) (vì cùng bằng \(BE\))
\(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADM = ∆NKC \) (g.c.g)
\( \Rightarrow DM = KC\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(BC = BK + KC\) suy ra \(BC = EN + DM\).
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$, lấy $D, E \in A B$ sao cho $A D=B E$ $D M / / B C(M \in A C), E N / / B C(N \in A C)$ |
| KL | $D M+E N=B C$ |
Từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AB \) cắt \(BC\) tại \(K.\) Nối \(EK.\)
Xét \(∆BEK\) và \(∆NKE\) có:
\(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong, \(EN // BC\))
\(EK\) cạnh chung
\(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong, \(NK // AB\))
\( \Rightarrow ∆BEK = ∆NKE\) (g.c.g)
\( \Rightarrow BE = NK; BK= NE\) (các cạnh tương ứng)
Vì \(DM//BC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}M} =\widehat B\) (hai góc đồng vị)
Vì \(NK//AB\) nên \(\widehat B= \widehat {NKC}\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\)
Xét \(∆ADM\) và \(∆NKC\) có:
\(\widehat A = \widehat {KNC}\) (hai góc đồng vị, \(NK // AB\))
\(AD = NK\) (vì cùng bằng \(BE\))
\(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADM = ∆NKC \) (g.c.g)
\( \Rightarrow DM = KC\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(BC = BK + KC\) suy ra \(BC = EN + DM\).