Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc \(B, C\) cắt nhau ở \(I\) và cắt \(AC, AB\) theo thứ tự ở \(D, E.\) Chứng minh rằng \(ID = IE.\)
Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác của góc \(BIC\).
Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác của góc \(BIC\).
Phương pháp giải
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Định lí tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ABC\), ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\)
\( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\(\displaystyle \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(\displaystyle \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì \(CE\) là phân giác góc \(C\))
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆BIC\), ta có:
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)
\(\displaystyle = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) \)
\(\displaystyle = 180^\circ - {{\widehat B+\widehat C} \over 2} \)
\(\displaystyle = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Kẻ tia phân giác \(IK\) của \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\).
Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = {1 \over 2}.120^o= 60^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ \)\( = 60^\circ \)
\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh)
Xét \(∆BIE\) và \(∆BIK\) có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(BI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆BIE = ∆BIK\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IE = IK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \( ∆CIK\) và \(∆CID\) có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (\(CE\) là phân giác góc \(C\))
\(CI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆CIK = ∆CID\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IK = ID\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(IE = ID.\)
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Định lí tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C, \widehat{A}=60^{\circ}$ $B I$ là phân giác $\widehat{B}, B I \cap A C=\{D\}$ CI là phân giác $\widehat{C}, C I \cap A B=\{E\}$ |
| KL | $I D=I E$ |
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ABC\), ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\)
\( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\(\displaystyle \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(\displaystyle \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì \(CE\) là phân giác góc \(C\))
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆BIC\), ta có:
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)
\(\displaystyle = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) \)
\(\displaystyle = 180^\circ - {{\widehat B+\widehat C} \over 2} \)
\(\displaystyle = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Kẻ tia phân giác \(IK\) của \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\).
Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = {1 \over 2}.120^o= 60^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ \)\( = 60^\circ \)
\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh)
Xét \(∆BIE\) và \(∆BIK\) có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(BI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆BIE = ∆BIK\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IE = IK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \( ∆CIK\) và \(∆CID\) có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (\(CE\) là phân giác góc \(C\))
\(CI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆CIK = ∆CID\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IK = ID\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(IE = ID.\)