Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \( C\) cắt nhau ở \(O.\) Kẻ \({\rm{OD}} \bot AC\), kẻ \({\rm{O}}E \bot AB\). Chứng minh rằng \(OD = OE.\)
Phương pháp giải
Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(OH \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông \(OEB\) và \(OHB\) có:
\(\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \)
Cạnh huyền \(OB\) chung
\(\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\) (vì \(BO\) là phân giác \(\widehat B\))
\( \Rightarrow ∆OEB = ∆OHB\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow OE = OH\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông \(OHC\) và \(ODC\), ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \)
Cạnh huyền \(OC\) chung
\(\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\) (vì \(CO\) là phân giác \(\widehat C\))
\( \Rightarrow ∆OHC = ∆ODC\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow OH = OD\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OE = OD.\)
Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C, B O$ là tia phân giác $\widehat{B}$ $\mathrm{CO}$ là tia phân giác $\widehat{C}$ $O D \perp A C, O E \perp A B$ |
| KL | $O D=O E$ |
Kẻ \(OH \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông \(OEB\) và \(OHB\) có:
\(\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \)
Cạnh huyền \(OB\) chung
\(\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\) (vì \(BO\) là phân giác \(\widehat B\))
\( \Rightarrow ∆OEB = ∆OHB\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow OE = OH\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông \(OHC\) và \(ODC\), ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \)
Cạnh huyền \(OC\) chung
\(\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\) (vì \(CO\) là phân giác \(\widehat C\))
\( \Rightarrow ∆OHC = ∆ODC\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow OH = OD\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OE = OD.\)