Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh $a,\widehat{BAD}=60{}^\circ $ và ${A}'A=a\sqrt{5}$. Biết rằng mặt phẳng $\left( AA'C'C \right)$ vuông góc với mặt đáy và hai mặt phẳng $\left( AA'C'C \right),\left( A{A}'{B}'B \right)$ tạo với nhau góc $45{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$.
A. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{2}$.
B. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{4}$.
C. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{3}$.
D. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$.
Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của các hình thoi $ABCD\text{, }A'B'C'D'$.
Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có cạnh $a,\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều, cạnh bằng $a$ và $BD\bot AC$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( AA'C'C \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( AA'C'C \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& BD\subset \left( ABCD \right) \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( ACC'A' \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $AA'$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& AA'\bot OH \\
& AA'\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AA'\bot (OHB)\Rightarrow \widehat{OHB}=(\widehat{HO,HB})=\left( \widehat{(ACC'A'),(ABB'A')} \right)=45{}^\circ $.
Tam giác $OHB$ vuông tại $O,\widehat{OHB}=45{}^\circ \Rightarrow OH=OB=\dfrac{a}{2}$.
${{V}_{B.AOO'A}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AOO'A'}}.OB=\dfrac{1}{3}.A{A}'.OH.OB=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$.
${{V}_{ABO.A'B'O'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{B.AOO'A}}=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{8}$.
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ là $V=4{{V}_{ABO.A'B'O'}}=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
A. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{2}$.
B. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{4}$.
C. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{3}$.
D. $V=\dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$.
Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có cạnh $a,\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều, cạnh bằng $a$ và $BD\bot AC$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( AA'C'C \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( AA'C'C \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& BD\subset \left( ABCD \right) \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( ACC'A' \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $AA'$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& AA'\bot OH \\
& AA'\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AA'\bot (OHB)\Rightarrow \widehat{OHB}=(\widehat{HO,HB})=\left( \widehat{(ACC'A'),(ABB'A')} \right)=45{}^\circ $.
Tam giác $OHB$ vuông tại $O,\widehat{OHB}=45{}^\circ \Rightarrow OH=OB=\dfrac{a}{2}$.
${{V}_{B.AOO'A}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AOO'A'}}.OB=\dfrac{1}{3}.A{A}'.OH.OB=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$.
${{V}_{ABO.A'B'O'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{B.AOO'A}}=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{8}$.
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ là $V=4{{V}_{ABO.A'B'O'}}=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.
