Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình thoi $ABCD$ tâm $O$ có $AC=2a ,$ $BD=2a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của ${B}'$ xuống mặt đáy trùng với trung điểm $H$ của $OB .$ Đường thẳng ${B}'C$ tạo với mặt đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{7}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $3{{a}^{3}}\sqrt{21}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{21}$.
Ta có $HO=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $OC=\dfrac{AC}{2}=a$.
Xét tam giác $OHC$ vuông tại $O$ có: $HC=\sqrt{O{{H}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Ta có $\left( {B}'C , \left( ABCD \right) \right)=\left( {B}'C , HC \right)=\widehat{{B}'CH}=45{}^\circ $.
Xét $\Delta {B}'CH$ vuông tại $H$ và $\widehat{{B}'CH}=45{}^\circ $. Suy ra $\Delta {B}'CH$ vuông cân tại $H$.
Do đó ${B}'H=HC=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABCD. {A}'{B}'{C}'{D}'}}= {B}'H. {{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{1}{2}. 2a. 2a\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{21}$.
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{7}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $3{{a}^{3}}\sqrt{21}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{21}$.
Ta có $HO=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $OC=\dfrac{AC}{2}=a$.
Xét tam giác $OHC$ vuông tại $O$ có: $HC=\sqrt{O{{H}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Ta có $\left( {B}'C , \left( ABCD \right) \right)=\left( {B}'C , HC \right)=\widehat{{B}'CH}=45{}^\circ $.
Xét $\Delta {B}'CH$ vuông tại $H$ và $\widehat{{B}'CH}=45{}^\circ $. Suy ra $\Delta {B}'CH$ vuông cân tại $H$.
Do đó ${B}'H=HC=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABCD. {A}'{B}'{C}'{D}'}}= {B}'H. {{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{1}{2}. 2a. 2a\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{21}$.
Đáp án D.
