Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, tâm $O$ và $\widehat{ABC}=120{}^\circ $. Góc giữa cạnh bên $A{A}'$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Đỉnh ${A}'$ cách đều các điểm $A,B,D$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ đã cho
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, tâm $O$ và $\widehat{ABC}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=60{}^\circ m\grave{a} AB=AD\Rightarrow \Delta ABD $ đều cạnh $a$.Suy ra: $AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, ${{S}_{\Delta ABD}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Lại có ${A}'B={A}'D={A}'A\Rightarrow {A}'.ABD$ là hình chóp đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow {A}'G\bot \left( ABD \right)$, $AG=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Theo giả thiết: Góc giữa cạnh bên $A{A}'$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $, suy ra $\widehat{{A}'AG}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông ${A}'AG c\acute{o}: {A}'G=AG.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a.$
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'G.{{S}_{ABCD}}={A}'G. 2{{S}_{\Delta ABD}}=a.2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Lại có ${A}'B={A}'D={A}'A\Rightarrow {A}'.ABD$ là hình chóp đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow {A}'G\bot \left( ABD \right)$, $AG=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Theo giả thiết: Góc giữa cạnh bên $A{A}'$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $, suy ra $\widehat{{A}'AG}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông ${A}'AG c\acute{o}: {A}'G=AG.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a.$
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'G.{{S}_{ABCD}}={A}'G. 2{{S}_{\Delta ABD}}=a.2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án D.
