Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=120{}^\circ $. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$, góc tạo bởi ${C}'G$ với mặt phẳng đáy bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
$\widehat{BAD}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABC}=60{}^\circ $ nên tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $AG=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{1}{3}AC\Rightarrow CG=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}a$.
Ta có $C$ là hình chiếu của $C'$ trên $\left( ABCD \right)$ nên $GC$ là hình chiếu của $GC'$ trên $\left( ABCD \right)$
Nên $\left( GC',\left( ABCD \right) \right)=\left( GC',GC \right)=\widehat{C'GC}=30{}^\circ $ $\Rightarrow CC'=CG.\tan \widehat{C'GC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{9}$.
Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=CC'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{9}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $AG=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{1}{3}AC\Rightarrow CG=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}a$.
Ta có $C$ là hình chiếu của $C'$ trên $\left( ABCD \right)$ nên $GC$ là hình chiếu của $GC'$ trên $\left( ABCD \right)$
Nên $\left( GC',\left( ABCD \right) \right)=\left( GC',GC \right)=\widehat{C'GC}=30{}^\circ $ $\Rightarrow CC'=CG.\tan \widehat{C'GC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{9}$.
Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=CC'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{9}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.
