Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông, $BD=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Vì $ABCD$ là hình vuông có đường chéo $BD=2a\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$.
Gọi $O=AC\cap BD$, $\alpha =\widehat{\left( \left( {A}'BD \right), \left( ABCD \right) \right)}$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& AO\bot BD, AO\subset \left( ABCD \right) \\
& {A}'O\bot BD, {A}'O\subset \left( {A}'BD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( AO, {A}'O \right)}=\widehat{AO{A}'}=30{}^\circ $
Xét tam giác vuông $AO{A}'$ : $\tan 30{}^\circ =\dfrac{A{A}'}{AO}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Suy ra thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là $V={{S}_{ABCD}}.A{A}'=2{{a}^{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $O=AC\cap BD$, $\alpha =\widehat{\left( \left( {A}'BD \right), \left( ABCD \right) \right)}$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& AO\bot BD, AO\subset \left( ABCD \right) \\
& {A}'O\bot BD, {A}'O\subset \left( {A}'BD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( AO, {A}'O \right)}=\widehat{AO{A}'}=30{}^\circ $
Xét tam giác vuông $AO{A}'$ : $\tan 30{}^\circ =\dfrac{A{A}'}{AO}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Suy ra thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là $V={{S}_{ABCD}}.A{A}'=2{{a}^{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.