Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, $BD=4a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. $48\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$.
Gọi O là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot A'O$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc của hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ và là góc $\widehat{A'OA}=60{}^\circ $.
Ta có $AC=BD=4a\Rightarrow AO=2a\Rightarrow A'A=AO\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$.
Thể tích của khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ là:
$V=A'A.{{S}_{ABCD}}=A'A.\dfrac{1}{2}AC.BD=2a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.4a.4a=16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $48\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$.
& BD\bot AO \\
& BD\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot A'O$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc của hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ và là góc $\widehat{A'OA}=60{}^\circ $.
Ta có $AC=BD=4a\Rightarrow AO=2a\Rightarrow A'A=AO\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$.
Thể tích của khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ là:
$V=A'A.{{S}_{ABCD}}=A'A.\dfrac{1}{2}AC.BD=2a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.4a.4a=16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.