Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{BAD}=60{}^\circ $, $A{A}'=a\sqrt{2}$. $M$ là trung điểm của $A{A}'$. Gọi $\varphi $ của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {B}'MD \right)$ và $\left( ABCD \right)$. Khi đó $\cos \varphi $ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $N={B}'M\cap BA$, khi đó $\left( {B}'MD \right)\cap \left( ABCD \right)=DN$.
Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$.
$AM$ là đường trung bình của tam giác $NB{B}'$ nên $AN=AB=a$, suy ra $\Delta ADN$ cân tại $A$, $\widehat{DAN}=180{}^\circ -\widehat{BAD}=120{}^\circ $. Do đó $\widehat{ADN}=30{}^\circ $. Suy ra $\widehat{NDB}=60{}^\circ +30{}^\circ =90{}^\circ $ hay $BD\bot DN$.
Theo định lý ba đường vuông góc ta có ${B}'D\bot DN$, do đó góc giữa mặt phẳng $\left( B'MD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa ${B}'D$ và $BD$ là $\widehat{{B}'DB}$.
Xét tam giác ${B}'DB$ vuông tại $B$, $\cos \widehat{{B}'DB}=\dfrac{BD}{{B}'D}$ $=\dfrac{BD}{\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$.
$AM$ là đường trung bình của tam giác $NB{B}'$ nên $AN=AB=a$, suy ra $\Delta ADN$ cân tại $A$, $\widehat{DAN}=180{}^\circ -\widehat{BAD}=120{}^\circ $. Do đó $\widehat{ADN}=30{}^\circ $. Suy ra $\widehat{NDB}=60{}^\circ +30{}^\circ =90{}^\circ $ hay $BD\bot DN$.
Theo định lý ba đường vuông góc ta có ${B}'D\bot DN$, do đó góc giữa mặt phẳng $\left( B'MD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa ${B}'D$ và $BD$ là $\widehat{{B}'DB}$.
Xét tam giác ${B}'DB$ vuông tại $B$, $\cos \widehat{{B}'DB}=\dfrac{BD}{{B}'D}$ $=\dfrac{BD}{\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.