Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$ ; $AD=a\sqrt{3}$ . Mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Trong $\left( ABCD \right)$ gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $BD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot A{A}' \\
& BD\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( {A}'AM \right)\Rightarrow BD\bot {A}'M$
Do đó $\left( \left( {A}'BD \right) ; \left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'M ; AM \right)=\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $
Ta có $AM=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác ${A}'AM$ vuông tại $A$ :
$\tan \widehat{{A}'MA}=\tan 60{}^\circ =\dfrac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=AM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$
Vậy ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{3a}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ .
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot A{A}' \\
& BD\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( {A}'AM \right)\Rightarrow BD\bot {A}'M$
Do đó $\left( \left( {A}'BD \right) ; \left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'M ; AM \right)=\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $
Ta có $AM=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác ${A}'AM$ vuông tại $A$ :
$\tan \widehat{{A}'MA}=\tan 60{}^\circ =\dfrac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=AM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$
Vậy ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{3a}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ .
Đáp án A.
