Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình thoi, góc $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ đồng thời $A{A}'=a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Biết rằng khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{21}$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ theo $a$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $AG\cap \left( {A}'BD \right)=O$ nên $d\left( G,\left( {A}'BD \right) \right)=\dfrac{GO}{AO}d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)$.
Dễ thấy $BD\bot \left( A{A}'O \right)$, trong $\left( A{A}'O \right)$ vẽ $AH\bot {A}'O$ tại $H$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BD \\
& AH\bot {A}'O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Gọi $x$ là cạnh hình thoi $ABCD$, ta có $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\Delta ABD$ đều.
Suy ra $AO=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$, khi đó $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow x=a$.
Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=a.\left( 2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Dễ thấy $BD\bot \left( A{A}'O \right)$, trong $\left( A{A}'O \right)$ vẽ $AH\bot {A}'O$ tại $H$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BD \\
& AH\bot {A}'O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Gọi $x$ là cạnh hình thoi $ABCD$, ta có $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\Delta ABD$ đều.
Suy ra $AO=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$, khi đó $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow x=a$.
Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=a.\left( 2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.