Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $AB=AC=\sqrt{3}a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SA\cdot $
Vì $ABCD$ là hình thoi có $AB=AC=\sqrt{3}a$ nên $\Delta ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$
Suy ra ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi $O=BD\cap AC$ $\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD$
$BD\bot AC$ ( Tính chất hình thoi)
$BD\bot SA$ ( do $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy)
$\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow BD\bot SO$
Suy ra $\left( \widehat{\left( SAC \right) , \left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SO , AO} \right)=\widehat{SOA}=60{}^\circ $
Xét tam giác $SAO$, ta có $\tan \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}\Rightarrow SA=AO.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$.
Vì $ABCD$ là hình thoi có $AB=AC=\sqrt{3}a$ nên $\Delta ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$
Suy ra ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi $O=BD\cap AC$ $\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD$
$BD\bot AC$ ( Tính chất hình thoi)
$BD\bot SA$ ( do $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy)
$\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow BD\bot SO$
Suy ra $\left( \widehat{\left( SAC \right) , \left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SO , AO} \right)=\widehat{SOA}=60{}^\circ $
Xét tam giác $SAO$, ta có $\tan \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}\Rightarrow SA=AO.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.