Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a, \widehat{ABC}={{60}^{0}}$. Tam giác $SAC$ cân tại $S, SB=a\sqrt{3}$. Góc giữa cạnh $SA$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Gọi $O=AC\cap BD$.
Ta có $AO\bot BD, AO\bot SO\Rightarrow AO\bot \left( SBD \right)$, khi đó $\widehat{\left( SA,\left( SBD \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SO \right)}=\widehat{ASO}={{30}^{0}}$.
Khi đó $AC=2a\Rightarrow AO=a\Rightarrow SO=AO.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}$, do $SB=BO=a\sqrt{3}$ nên $\Delta SBO$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=4{{V}_{A.SBO}}=\dfrac{4}{3}.AO.{{S}_{\Delta SBO}}=\dfrac{4}{3}.a.\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Ta có $AO\bot BD, AO\bot SO\Rightarrow AO\bot \left( SBD \right)$, khi đó $\widehat{\left( SA,\left( SBD \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SO \right)}=\widehat{ASO}={{30}^{0}}$.
Khi đó $AC=2a\Rightarrow AO=a\Rightarrow SO=AO.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}$, do $SB=BO=a\sqrt{3}$ nên $\Delta SBO$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=4{{V}_{A.SBO}}=\dfrac{4}{3}.AO.{{S}_{\Delta SBO}}=\dfrac{4}{3}.a.\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án B.