Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=BD=\sqrt{3}a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $60{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $AC$ và $SC$ và bằng góc $\widehat{SCA}$ ( vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $\Delta SAC$ vuông tại $A$, do đó $\widehat{SCA}$ là góc nhọn)
Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC\bot BD$ tại $O$.
.Ta có
$\begin{aligned}
& A{{O}^{2}}=A{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \\
& \Rightarrow AO=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AC=2.AO=a \\
\end{aligned}$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC\bot BD$ tại $O$.
.Ta có
$\begin{aligned}
& A{{O}^{2}}=A{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \\
& \Rightarrow AO=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AC=2.AO=a \\
\end{aligned}$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Đáp án A.