Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{BAD}=120{}^\circ $. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ACD$ nhận giá trị:
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.$
Do $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{BAD}=120{}^\circ $ nên $\widehat{ADC}=60{}^\circ $ suy ra tam giác $ADC$ đều. Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ và dựng trục đường tròn ngoại tiếp $Gx$ của tam giác $ADC$
Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$ là $AG=\dfrac{2}{3}\dfrac{AD\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Dựng đường trung trực $EI$ của đoạn thẳng $SA$ với $E$, $I$ lần lượt thuộc $SA$, $Gx$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ suy ra bán hình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ là $AI=\sqrt{I{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+G{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.$
Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$ là $AG=\dfrac{2}{3}\dfrac{AD\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Dựng đường trung trực $EI$ của đoạn thẳng $SA$ với $E$, $I$ lần lượt thuộc $SA$, $Gx$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ suy ra bán hình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ là $AI=\sqrt{I{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+G{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
Đáp án D.