Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SC=2a$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $\dfrac{5a\sqrt{30}}{3}$.
Ta có: $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ $\Rightarrow \Delta ABC,$ $\Delta ACD$ là các tam giác đều cạnh $a$.
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{3}$.
Vì $AB \text{//} CD$ nên $AB \text{//} \left( SCD \right)$. Do đó $d\left( B, \left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot CD$ $\left( H\in CD \right)$. Suy ra $H$ là trung điểm của cạnh $CD$, $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ $AK\bot SH$ $\left( K\in SH \right)$ $\left( 1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AH \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow CD\bot \left( SAH \right) $ $ \Rightarrow CD\bot AK $ $ \left( 2 \right)$.
Từ và suy ra: $AK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK$.
Xét $\Delta SAH$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}$ $=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $\dfrac{5a\sqrt{30}}{3}$.
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{3}$.
Vì $AB \text{//} CD$ nên $AB \text{//} \left( SCD \right)$. Do đó $d\left( B, \left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot CD$ $\left( H\in CD \right)$. Suy ra $H$ là trung điểm của cạnh $CD$, $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ $AK\bot SH$ $\left( K\in SH \right)$ $\left( 1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AH \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow CD\bot \left( SAH \right) $ $ \Rightarrow CD\bot AK $ $ \left( 2 \right)$.
Từ và suy ra: $AK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK$.
Xét $\Delta SAH$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}$ $=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.