Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{7}}{7}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Kẻ $AH\bot SD$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$
$\left. \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)$
Mặt khác: $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right)$
$d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$
$\left. \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)$
Mặt khác: $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right)$
$d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Đáp án D.