Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2a,AC=4a,SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=3a$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{12a}{5}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{13}a}{13}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{7}a}{7}$.
Kẻ $AH\bot SD$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)$
Vì $AB//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$
Ta có: $AD=BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2\sqrt{3}a$
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ :
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{6\sqrt{7}a}{7}$
B. $\dfrac{6\sqrt{13}a}{13}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{7}a}{7}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)$
Vì $AB//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$
Ta có: $AD=BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2\sqrt{3}a$
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ :
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{6\sqrt{7}a}{7}$
Đáp án D.