Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\sqrt{3}a$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\sqrt{2}a$.
C. $a$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Ta có: $AB\text{//}CD\Rightarrow AB\text{//}\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SC \left( H\in SC \right)$. Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SC \\
& AH\bot CD \left( do CD\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A, \left( SCD \right) \right)=AH$.
Ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\sqrt{2}a$.
C. $a$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SC \left( H\in SC \right)$. Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SC \\
& AH\bot CD \left( do CD\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A, \left( SCD \right) \right)=AH$.
Ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.