Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC, D\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là trung điểm của \(AC.\) Vẽ điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(DF.\) Chứng minh rằng:
a) \(DB = CF\).
b) \(∆BDC = ∆FCD\).
c) \(DE// BC\) và \(\displaystyle DE = {1 \over 2}BC\)
a) \(DB = CF\).
b) \(∆BDC = ∆FCD\).
c) \(DE// BC\) và \(\displaystyle DE = {1 \over 2}BC\)
Phương pháp giải
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(∆ADE\) và \(∆CFE\) có:
\(AE = CE\) (vì E là trung điểm AC)
\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)
\(DE = FE\) (vì E là trung điểm DF)
\( \Rightarrow ∆ADE = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AD = CF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(AD = DB\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))
Vậy \(DB = CF\)
b) Ta có: \(∆ADE = ∆CFE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow AD // CF\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) )
Hay \(AB // CF\).
Xét \(∆DBC\) và \(∆CFD\) có:
\(BD = CF\) (chứng minh trên)
\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong, \(CF // AB\))
\(DC \) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆DBC = ∆CFD\) (c. g. c)
c) Ta có: \( ∆DBC = ∆CFD\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow DE // BC\) (vì có hai góc so le trong bằng nhau \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))
\(∆DBC = ∆CFD \) \( \Rightarrow BC = DF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(DF\)).
Vậy \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\).
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $ \Delta A B C, D A=D B(D \in A B) $ $E A=E C(E \in A C)$, lấy $F$ sao cho $E$ là trung điểm $D F$ |
| KL | a) $D B=C F$ b) $\triangle B D C=\Delta F C D$ c) $D E / / B C, D E=\dfrac{1}{2} B C$ |
a) Xét \(∆ADE\) và \(∆CFE\) có:
\(AE = CE\) (vì E là trung điểm AC)
\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)
\(DE = FE\) (vì E là trung điểm DF)
\( \Rightarrow ∆ADE = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AD = CF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(AD = DB\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))
Vậy \(DB = CF\)
b) Ta có: \(∆ADE = ∆CFE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow AD // CF\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) )
Hay \(AB // CF\).
Xét \(∆DBC\) và \(∆CFD\) có:
\(BD = CF\) (chứng minh trên)
\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong, \(CF // AB\))
\(DC \) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆DBC = ∆CFD\) (c. g. c)
c) Ta có: \( ∆DBC = ∆CFD\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow DE // BC\) (vì có hai góc so le trong bằng nhau \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))
\(∆DBC = ∆CFD \) \( \Rightarrow BC = DF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(DF\)).
Vậy \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\).