Google
Câu hỏi: Cho \({z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)
B. \({z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\)
C. \({z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)
D. \({z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\)
A. \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)
B. \({z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\)
C. \({z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)
D. \({z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải
Sử dụng chú ý: \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \), nghĩa là tìm số phức liên hợp của mỗi số phức ở các đáp án và kiểm tra có bằng số phức ban đầu hay không.
Chú ý:
+) \(\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \)
+) \(\overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \)
Lời giải chi tiết
:
Đặt \(z = {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} {z_2}} \)\(= \overline {{z_1}} .\overline {\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} = \overline {{z_1}} {z_2} + {z_1}\overline {{z_2}} = z\).
Do đó \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}{z_2}} + \overline {\overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \) \(= \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} + {z_1}{z_2} = z\) nên \(z \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}\) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}} \overline {\overline {{z_2}} } \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} \) \(= \overline {{z_1}} .{z_2}.{z_1}.\overline {{z_2}} = z\) nên \(z \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \) \(= \overline {{z_1}{z_2}} - \overline {\overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} - {z_1}{z_2} \ne z\) nên \(z \notin \mathbb{R}\).
Sử dụng chú ý: \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \), nghĩa là tìm số phức liên hợp của mỗi số phức ở các đáp án và kiểm tra có bằng số phức ban đầu hay không.
Chú ý:
+) \(\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \)
+) \(\overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \)
Lời giải chi tiết
:
Đặt \(z = {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} {z_2}} \)\(= \overline {{z_1}} .\overline {\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} = \overline {{z_1}} {z_2} + {z_1}\overline {{z_2}} = z\).
Do đó \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}{z_2}} + \overline {\overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \) \(= \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} + {z_1}{z_2} = z\) nên \(z \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}\) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}} \overline {\overline {{z_2}} } \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} \) \(= \overline {{z_1}} .{z_2}.{z_1}.\overline {{z_2}} = z\) nên \(z \in \mathbb{R}\).
:
Đặt \(z = {z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \) ta có: \(\overline z = \overline {{z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \) \(= \overline {{z_1}{z_2}} - \overline {\overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} - {z_1}{z_2} \ne z\) nên \(z \notin \mathbb{R}\).
Đáp án A.