Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-2-i\right|=2...

Giả sử số phức $z_1=a+b i\left(a, b \in \mathbb{R} ; i^2=-1\right)$.
$
\left|z_1-2-i\right|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow(a-2)^2+(b-1)^2=8
$
Gọi điểm $M_1$ biểu diễn số phức $z_1$. Suy ra $M_1$ thuộc đường tròn tâm $I(2 ; 1)$, bán kính $R=2 \sqrt{2}$.
Giả sử số phức $z_2=x+y i\left(x, y \in \mathbb{R} ; i^2=-1\right)$.
$
\begin{aligned}
& \left|z_2-5+i\right|=\left|\overline{z_2}-7+i\right| \Leftrightarrow(x-5)^2+(y+1)^2=(x-7)^2+(1-y)^2 \\
& \Leftrightarrow-10 x+25+2 y+1=-14 x+49-2 y+1 \Leftrightarrow 4 x+4 y-24=0 \Leftrightarrow x+y-6=0
\end{aligned}
$
Điểm $M_2(x ; y)$ biểu diễn số phức $z_2$. Suy ra $M_2$ thuộc đường thẳng $\Delta_1: x+y-6=0$.
Điểm $M_3(-y ; x)$ biểu diễn số phức $i z_2$. Ta thấy $M_3$ là ảnh của điểm $M_2$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $90^{\circ}$. Suy ra $M_3$ thuộc đường thẳng $\Delta_2: x-y+6=0$.
Khi đó: $\left|z_1-i z_2\right|=M_1 M_3$. Do đó $\left|z_1-i z_2\right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M_1 M_3$ nhỏ nhất. Suy ra: $\min \left\{\left|z_1-i z_2\right|\right\}=$ $d\left(I ; \Delta_2\right)-R=\dfrac{|2-1+6|}{\sqrt{2}}-2 \sqrt{2}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$