Google
Câu hỏi: Cho phương trình $z^2+a z+b=0$ với $a, b$ là những số thực và phương trình có hai nghiệm $z_1$, $z_2$ không thuần thực thỏa mãn hệ thức $(1+i)\left|z_1\right|=2 z_2+i$. Giá trị của $(2 b-4 a)$ bằng
A. $\sqrt{3}$.
B. 0 .
C. $-\sqrt{5}$.
D. $2 \sqrt{2}$.
A. $\sqrt{3}$.
B. 0 .
C. $-\sqrt{5}$.
D. $2 \sqrt{2}$.
Phương trình bậc hai với hệ số thực luôn cho hai nghiệm phức liên hợp:
$\overline{z_1}=z_2 \Leftrightarrow\left|\overline{z_1}\right|=\left|z_2\right|=t \geq 0$
Ta có: $(1+i)\left|z_1\right|=2 z_2+i \Leftrightarrow\left|z_1\right|+i\left(\left|z_1\right|-1\right)=2 z_2 \Rightarrow|| z_1\left|+i\left(\left|z_1\right|-1\right)\right|=2\left|z_2\right| \Leftrightarrow \mid t+$ $i(t-1) \mid=2 t$
Thay vào giả thiết, ta có: $z_2=\dfrac{(1+i)\left|z_1\right|-i}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}+\dfrac{-3+\sqrt{3}}{4} i$
Suy ra $Z_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}-\dfrac{-3+\sqrt{3}}{4} i$
Theo hệ thức Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2=-a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ z_1 \cdot z_2=b=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\end{array} \Rightarrow 2 b-4 a=\sqrt{3}\right.$
$\overline{z_1}=z_2 \Leftrightarrow\left|\overline{z_1}\right|=\left|z_2\right|=t \geq 0$
Ta có: $(1+i)\left|z_1\right|=2 z_2+i \Leftrightarrow\left|z_1\right|+i\left(\left|z_1\right|-1\right)=2 z_2 \Rightarrow|| z_1\left|+i\left(\left|z_1\right|-1\right)\right|=2\left|z_2\right| \Leftrightarrow \mid t+$ $i(t-1) \mid=2 t$
Thay vào giả thiết, ta có: $z_2=\dfrac{(1+i)\left|z_1\right|-i}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}+\dfrac{-3+\sqrt{3}}{4} i$
Suy ra $Z_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}-\dfrac{-3+\sqrt{3}}{4} i$
Theo hệ thức Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2=-a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ z_1 \cdot z_2=b=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\end{array} \Rightarrow 2 b-4 a=\sqrt{3}\right.$
Đáp án A.