Google
Câu hỏi: Cho \(z = a + bi\). Chứng minh rằng:
a) \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 2({a^2} - {b^2})\)
b) \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4abi\)
c) \({z^2}{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left({{a^2} + {b^2}} \right)^2}\)
a) \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 2({a^2} - {b^2})\)
b) \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4abi\)
c) \({z^2}{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left({{a^2} + {b^2}} \right)^2}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\) và thay vào vế trái mỗi đẳng thức, biến đổi đưa về vế phải và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
\({(\overline z)^2} = {(a - bi)^2} = {a^2} - {b^2} - 2abi\)
a) \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) \(= {a^2} - {b^2} + 2abi + {a^2} - {b^2} - 2abi\) \(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\).
b) \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2}\)\(= {a^2} - {b^2} + 2abi - {a^2} + {b^2} + 2abi\)\(= 4abi\).
c) \({z^2}.{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left({z.\overline z } \right)^2}\) \( = {\left[ {\left( {a + bi} \right)\left({a - bi} \right)} \right]^2} \) \(= {\left( {{a^2} - {b^2}{i^2}} \right)^2} = {\left({{a^2} + {b^2}} \right)^2}\).
Sử dụng công thức \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\) và thay vào vế trái mỗi đẳng thức, biến đổi đưa về vế phải và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
\({(\overline z)^2} = {(a - bi)^2} = {a^2} - {b^2} - 2abi\)
a) \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) \(= {a^2} - {b^2} + 2abi + {a^2} - {b^2} - 2abi\) \(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\).
b) \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2}\)\(= {a^2} - {b^2} + 2abi - {a^2} + {b^2} + 2abi\)\(= 4abi\).
c) \({z^2}.{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left({z.\overline z } \right)^2}\) \( = {\left[ {\left( {a + bi} \right)\left({a - bi} \right)} \right]^2} \) \(= {\left( {{a^2} - {b^2}{i^2}} \right)^2} = {\left({{a^2} + {b^2}} \right)^2}\).