Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
Phương pháp giải
- Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), lập hệ phương trình ẩn \({x_0},{y_0}\).
- Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\)
Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\) và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\)
Vì \(A \in (E)\) nên \(\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4} (1)\)
Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2 (2)\)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left({{x_0} - 2} \right)^2} - 3y_0^2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left({{x_0} - 2} \right)^2} - 3\left({1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 4 - 3 + \dfrac{{3x_0^2}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{7x_0^2}}{4} - 4{x_0} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \dfrac{2}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\)
Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\)
Với \({x_0} = \dfrac{2}{7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} = \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}.\)
Vậy \(A\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right), B\left({\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\) hoặc \(A\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right), B\left({\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\).
- Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), lập hệ phương trình ẩn \({x_0},{y_0}\).
- Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\)
Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\) và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\)
Vì \(A \in (E)\) nên \(\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4} (1)\)
Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2 (2)\)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left({{x_0} - 2} \right)^2} - 3y_0^2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left({{x_0} - 2} \right)^2} - 3\left({1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 4 - 3 + \dfrac{{3x_0^2}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{7x_0^2}}{4} - 4{x_0} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \dfrac{2}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\)
Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\)
Với \({x_0} = \dfrac{2}{7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} = \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}.\)
Vậy \(A\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right), B\left({\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\) hoặc \(A\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right), B\left({\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\).