Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C’) và (C).
Phương pháp giải
- Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).
- Tìm tọa độ điểm \(J\) đối xứng với \(I\) qua \(d\).
- Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) đối xứng \(\left( C \right)\) qua \(d\) thì có tâm \(J\) và bán kính \(R\).
- Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Tìm nghiệm và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\)
Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1; 2} \right)\) và vuông góc với d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; 1} \right)\) làm VTPT.
\(\Delta\) có phương trình :
\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left({y - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)
Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2; 1} \right)\)
Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3; 0).\)
Vì (C ’) đối xứng với (C) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3; 0} \right)\) và bán kính R = 2.
Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)
Tọa độ các giao điểm của (C) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} = 4\\{\left({x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1, y = 0\\x = 3, y = 2.\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C ’) là A(1; 0) và B(3; 2).
- Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).
- Tìm tọa độ điểm \(J\) đối xứng với \(I\) qua \(d\).
- Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) đối xứng \(\left( C \right)\) qua \(d\) thì có tâm \(J\) và bán kính \(R\).
- Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Tìm nghiệm và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\)
Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1; 2} \right)\) và vuông góc với d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; 1} \right)\) làm VTPT.
\(\Delta\) có phương trình :
\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left({y - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)
Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2; 1} \right)\)
Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3; 0).\)
Vì (C ’) đối xứng với (C) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3; 0} \right)\) và bán kính R = 2.
Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)
Tọa độ các giao điểm của (C) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} = 4\\{\left({x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1, y = 0\\x = 3, y = 2.\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C ’) là A(1; 0) và B(3; 2).