Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y - 3 = 0\)và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \({\Delta _1}\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \({\Delta _2}\) bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Phương pháp giải
Tham số hóa tọa độ điểm \(M\) theo \({\Delta _1}\).
Sử dụng công thức khoảng cách \(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) tìm tọa độ điểm \(M\).
Lời giải chi tiết
\({\Delta _1}:x - 2y - 3 = 0 \) \(\Leftrightarrow x = 2y + 3\)
Cho \(y=t\) thì \(x=2t+3\) nên \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {2t + 3; t} \right).\)
Khoảng cách từ \(M\) đến \({\Delta _2}\) là \(d(M,{\Delta _2}) = \dfrac{{\left| {2t + 3 + t + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\(= \dfrac{{\left| {3t + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3t + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow \left| {3t + 4} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 4 = 1\\3t + 4 = - 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( {1; - 1} \right)\) hoặc \(M\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right).\)
Tham số hóa tọa độ điểm \(M\) theo \({\Delta _1}\).
Sử dụng công thức khoảng cách \(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) tìm tọa độ điểm \(M\).
Lời giải chi tiết
\({\Delta _1}:x - 2y - 3 = 0 \) \(\Leftrightarrow x = 2y + 3\)
Cho \(y=t\) thì \(x=2t+3\) nên \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {2t + 3; t} \right).\)
Khoảng cách từ \(M\) đến \({\Delta _2}\) là \(d(M,{\Delta _2}) = \dfrac{{\left| {2t + 3 + t + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\(= \dfrac{{\left| {3t + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3t + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow \left| {3t + 4} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 4 = 1\\3t + 4 = - 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( {1; - 1} \right)\) hoặc \(M\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right).\)