Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y + 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng \(d:3x - 4y + m = 0\). Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Phương pháp giải
Dựng hình, nhận xét tính chất tam giác \(PAB\) đều suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3.
Ta có tam giác PAB đều thì \(IP = 2IA = 2R = 6\) \(\Leftrightarrow P \in \left( {C'} \right)\) tâm I, bán kính \(R' = 6.\)
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc \(\left( {C'} \right)\) tại \(P\) \(\Leftrightarrow d(I, d) = 6\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3.1 - 4.\left({ - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 11} \right|}}{5} = 6\\
\Leftrightarrow \left| {m + 11} \right| = 30\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 11 = 30\\
m + 11 = - 30
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 9\\
m = - 41
\end{array} \right.
\end{array}\)
Dựng hình, nhận xét tính chất tam giác \(PAB\) đều suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3.
Ta có tam giác PAB đều thì \(IP = 2IA = 2R = 6\) \(\Leftrightarrow P \in \left( {C'} \right)\) tâm I, bán kính \(R' = 6.\)
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc \(\left( {C'} \right)\) tại \(P\) \(\Leftrightarrow d(I, d) = 6\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3.1 - 4.\left({ - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 11} \right|}}{5} = 6\\
\Leftrightarrow \left| {m + 11} \right| = 30\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 11 = 30\\
m + 11 = - 30
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 9\\
m = - 41
\end{array} \right.
\end{array}\)