Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng \({d_1}:x + y - 2 = 0\), \({d_2}:x + y - 8 = 0\).
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Phương pháp giải
- Tham số hóa tọa độ của \(B, C\).
- Sử dụng điều kiện \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\AB = AC\end{array} \right.\) lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì \(B \in {d_1}, C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b; 2 - b} \right), C\left({c; 8 - c} \right).\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2; - b} \right),\) \(\overrightarrow {AC} = \left( {b - 2; 6 - c} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(= \left( {b - 2} \right)\left({c - 2} \right) - b\left({6 - c} \right)\) \(= bc - 2c - 2b + 4 - 6b + bc\) \(= 2bc - 8b - 2c + 4\) \(= 2\left( {bc - 4b - c + 2} \right)\)
Tam giác ABC vuông cân tại A
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\AB = AC\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}bc - 4b - c + 2 = 0\\{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(b - 1)(c - 4) = 2\\{(b - 1)^2}-{(c - 4)^2} = 3.\end{array} \right.\)
Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :
\(\left\{ \begin{array}{l}x. Y = 2\\{x^2} - {y^2} = 3\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = - 2 + 1 = - 1\\c = y + 4 = - 1 + 4 = 3\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1; 3} \right)\\C\left({3; 5} \right)\end{array} \right.\)
Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = 2 + 1 = 3\\c = y + 4 = 1 + 4 = 5\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {3; - 1} \right)\\C\left({5; 3} \right)\end{array} \right.\)
Vậy B(-1; 3), C(3; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5; 3)
- Tham số hóa tọa độ của \(B, C\).
- Sử dụng điều kiện \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\AB = AC\end{array} \right.\) lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì \(B \in {d_1}, C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b; 2 - b} \right), C\left({c; 8 - c} \right).\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2; - b} \right),\) \(\overrightarrow {AC} = \left( {b - 2; 6 - c} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(= \left( {b - 2} \right)\left({c - 2} \right) - b\left({6 - c} \right)\) \(= bc - 2c - 2b + 4 - 6b + bc\) \(= 2bc - 8b - 2c + 4\) \(= 2\left( {bc - 4b - c + 2} \right)\)
Tam giác ABC vuông cân tại A
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\AB = AC\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}bc - 4b - c + 2 = 0\\{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(b - 1)(c - 4) = 2\\{(b - 1)^2}-{(c - 4)^2} = 3.\end{array} \right.\)
Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :
\(\left\{ \begin{array}{l}x. Y = 2\\{x^2} - {y^2} = 3\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = - 2 + 1 = - 1\\c = y + 4 = - 1 + 4 = 3\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1; 3} \right)\\C\left({3; 5} \right)\end{array} \right.\)
Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = 2 + 1 = 3\\c = y + 4 = 1 + 4 = 5\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {3; - 1} \right)\\C\left({5; 3} \right)\end{array} \right.\)
Vậy B(-1; 3), C(3; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5; 3)