Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Phương pháp giải
- Tìm tọa độ điểm \(M, N, H\).
- Gọi phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\).
- Thay tọa độ các điểm \(H, M, N\) vào phương trình tìm \(a, b, c\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có \(M\left( { - 1; 0} \right), N\left({1; - 2} \right), \overrightarrow {AC} = \left({4; - 4} \right)\) .
Giả sử \(H\left( {x; y} \right)\). Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\H \in AC\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4(x + 2) - 4(y + 2) = 0\\4x + 4(y - 2) = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; 1} \right).\)
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 (1).\)
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a - c = 1\\2a - 4b + c = - 5\\2a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\\c = - 2.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\).
- Tìm tọa độ điểm \(M, N, H\).
- Gọi phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\).
- Thay tọa độ các điểm \(H, M, N\) vào phương trình tìm \(a, b, c\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có \(M\left( { - 1; 0} \right), N\left({1; - 2} \right), \overrightarrow {AC} = \left({4; - 4} \right)\) .
Giả sử \(H\left( {x; y} \right)\). Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\H \in AC\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4(x + 2) - 4(y + 2) = 0\\4x + 4(y - 2) = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; 1} \right).\)
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 (1).\)
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a - c = 1\\2a - 4b + c = - 5\\2a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\\c = - 2.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\).