Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\).
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ điểm \(A, B\), suy ra tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\).
- \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
\(A \in Ox, B \in Oy\) \(\Rightarrow A\left( {a; 0} \right), B\left({0; b} \right),\) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a; b} \right).\)
Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {2; 1} \right)\) .
Tọa độ trung điểm I của AB là \(\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}} \right)\) .
A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\\dfrac{a}{2} - b + 3 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4.\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( {2; 0} \right), B\left({0; 4} \right).\)
- Gọi tọa độ điểm \(A, B\), suy ra tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\).
- \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
\(A \in Ox, B \in Oy\) \(\Rightarrow A\left( {a; 0} \right), B\left({0; b} \right),\) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a; b} \right).\)
Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {2; 1} \right)\) .
Tọa độ trung điểm I của AB là \(\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}} \right)\) .
A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\\dfrac{a}{2} - b + 3 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4.\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( {2; 0} \right), B\left({0; 4} \right).\)