Google
Câu hỏi: Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1.\) Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\).
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ \(M\left( {x; y} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
- Tính khoảng cách \(M{F_1}, M{F_2}\) thay vào điều kiện, lập phương trình ẩn \(x\).
- Giải phương trình suy ra tọa độ \(M\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(a = 8; b = 4\sqrt 3 ; \) \(c = 4\)
\(M(x; y) \in (E)\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1 (1)\)
Ta có: \(M \in \left( E \right)\) \(\Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 16\)
Mà \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\) nên \(\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) + M{F_2} = 26\)
Hay \(16 + M{F_2} = 26 \Leftrightarrow M{F_2} = 10\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {y^2}} = 10\\ \Leftrightarrow {\left({4 - x} \right)^2} + {y^2} = 100\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\end{array}\)
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\\dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{64}}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4} = 100\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{4} - 8x - 36 = 0\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 36\left( {loai vi x < 8} \right)\\x = - 4\left({TM} \right)\end{array} \right.\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - 4; - 6} \right)\\M\left({ - 4; 6} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(M( - 4; \pm 6).\)
- Gọi tọa độ \(M\left( {x; y} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
- Tính khoảng cách \(M{F_1}, M{F_2}\) thay vào điều kiện, lập phương trình ẩn \(x\).
- Giải phương trình suy ra tọa độ \(M\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(a = 8; b = 4\sqrt 3 ; \) \(c = 4\)
\(M(x; y) \in (E)\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1 (1)\)
Ta có: \(M \in \left( E \right)\) \(\Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 16\)
Mà \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\) nên \(\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) + M{F_2} = 26\)
Hay \(16 + M{F_2} = 26 \Leftrightarrow M{F_2} = 10\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {y^2}} = 10\\ \Leftrightarrow {\left({4 - x} \right)^2} + {y^2} = 100\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\end{array}\)
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\\dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{64}}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + {y^2} = 100\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 16 + 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4} = 100\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{4} - 8x - 36 = 0\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 36\left( {loai vi x < 8} \right)\\x = - 4\left({TM} \right)\end{array} \right.\\{y^2} = 48 - \dfrac{{3{x^2}}}{4}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - 4; - 6} \right)\\M\left({ - 4; 6} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(M( - 4; \pm 6).\)