Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\) , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Phương pháp giải
- Gọi \(A\left( {a; 0} \right)\), lập phương trình ẩn \(a\).
- Giải phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có : \(BC \cap Ox = B(1; 0)\).
Đặt \({x_A} = a\) ta có A(a; 0) và \({x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .\)
Vậy \(C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\)
Từ công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right)\\{y_G} = \dfrac{1}{3}\left({{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right)\end{array} \right.\) ta có \(G\left( {\dfrac{{2a + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)}}{3}} \right).\)
Mà \(AB = \left| {a - 1} \right|, AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,\)\(BC = 2\left| {a - 1} \right|\). Do đó :
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB. AC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - 1} \right)^2}.\)
Ta có \(r = \dfrac{{2S}}{{AB + AC + BC}}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 + 1}} = 2\)
Vậy \(\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3 + 2.\)
Trường hợp 1. \({a_1} = 2\sqrt 3 + 3\) \(\Rightarrow {G_1}\left( {\dfrac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\)
Trường hợp 2. \({a_2} = - 2\sqrt 3 - 1\)\(\Rightarrow {G_2}\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 - 1}}{3};\dfrac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\)
- Gọi \(A\left( {a; 0} \right)\), lập phương trình ẩn \(a\).
- Giải phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có : \(BC \cap Ox = B(1; 0)\).
Đặt \({x_A} = a\) ta có A(a; 0) và \({x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .\)
Vậy \(C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\)
Từ công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right)\\{y_G} = \dfrac{1}{3}\left({{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right)\end{array} \right.\) ta có \(G\left( {\dfrac{{2a + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)}}{3}} \right).\)
Mà \(AB = \left| {a - 1} \right|, AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,\)\(BC = 2\left| {a - 1} \right|\). Do đó :
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB. AC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - 1} \right)^2}.\)
Ta có \(r = \dfrac{{2S}}{{AB + AC + BC}}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 + 1}} = 2\)
Vậy \(\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3 + 2.\)
Trường hợp 1. \({a_1} = 2\sqrt 3 + 3\) \(\Rightarrow {G_1}\left( {\dfrac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\)
Trường hợp 2. \({a_2} = - 2\sqrt 3 - 1\)\(\Rightarrow {G_2}\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 - 1}}{3};\dfrac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\)