Google
Câu hỏi: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua A(1;-6) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y + 1 = 0\) tại \(B( - 2; 3).\)
Phương pháp giải
- Gọi tâm \(I\left( {a; b} \right)\).
- Sử dụng điều kiện \(IA = IB\) và \(IB \bot \Delta \) lập hệ phương trình ẩn \(a, b\).
- Giải hệ phương trình tìm \(a, b\) và suy ra phương trình đường tròn.
Lời giải chi tiết
Gọi I(a; b) là tâm của (C).
\(\overrightarrow {AI} = (a - 1; b + 6);\) \(\overrightarrow {BI} = (a + 2; b - 3) ; \) \({\overrightarrow u _\Delta } = ( - 1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Ta có: \(IA = IB = R\) và \(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\{\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2}\\ - 1.(a + 2) + 2.(b - 3) = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 18b = 24\\ - a + 2b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 32\\b = - 12\end{array} \right.\)
Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( - 33)^2} + {(- 6)^2} = 1125\).
Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\)
- Gọi tâm \(I\left( {a; b} \right)\).
- Sử dụng điều kiện \(IA = IB\) và \(IB \bot \Delta \) lập hệ phương trình ẩn \(a, b\).
- Giải hệ phương trình tìm \(a, b\) và suy ra phương trình đường tròn.
Lời giải chi tiết
Gọi I(a; b) là tâm của (C).
\(\overrightarrow {AI} = (a - 1; b + 6);\) \(\overrightarrow {BI} = (a + 2; b - 3) ; \) \({\overrightarrow u _\Delta } = ( - 1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Ta có: \(IA = IB = R\) và \(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\{\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2}\\ - 1.(a + 2) + 2.(b - 3) = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 18b = 24\\ - a + 2b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 32\\b = - 12\end{array} \right.\)
Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( - 33)^2} + {(- 6)^2} = 1125\).
Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\)