Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Phương pháp giải
- Tham số hóa tọa độ điểm \(A\), từ đó suy ra tọa độ điểm \(C\) theo \(A\).
- Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình \({d_2}\) tìm tham số và suy ra tọa độ các điểm \(A, C\).
- Sử dụng tính chất: \(I\) là tâm hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}IB = IA\\ID = IA\end{array} \right.\) để tìm tọa độ các điểm \(B, D\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t; t} \right).\)
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B, D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\).
Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) . Vậy A(1; 1), C(1 ; -1).
Trung điểm AC là \(I(1; 0)\).
Vì I là tâm hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}IB = IA = 1\\ID = IA = 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}B \in Ox\\D \in Ox\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B(b; 0)\\D(d; 0)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {b - 1} \right| = 1\\\left| {d - 1} \right| = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0, b = 2\\d = 0, d = 2.\end{array} \right.\)
Suy ra B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0), D(0; 0).
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1 ; -1), D(2; 0)
hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1 ; -1), D(0; 0).
- Tham số hóa tọa độ điểm \(A\), từ đó suy ra tọa độ điểm \(C\) theo \(A\).
- Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình \({d_2}\) tìm tham số và suy ra tọa độ các điểm \(A, C\).
- Sử dụng tính chất: \(I\) là tâm hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}IB = IA\\ID = IA\end{array} \right.\) để tìm tọa độ các điểm \(B, D\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t; t} \right).\)
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B, D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\).
Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) . Vậy A(1; 1), C(1 ; -1).
Trung điểm AC là \(I(1; 0)\).
Vì I là tâm hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}IB = IA = 1\\ID = IA = 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}B \in Ox\\D \in Ox\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B(b; 0)\\D(d; 0)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {b - 1} \right| = 1\\\left| {d - 1} \right| = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0, b = 2\\d = 0, d = 2.\end{array} \right.\)
Suy ra B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0), D(0; 0).
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1 ; -1), D(2; 0)
hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1 ; -1), D(0; 0).