Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a​

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\displaystyle \left(C\right)$ của hàm số  $\displaystyle f\left(x\right) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}$
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y = $\displaystyle f\left(x\right) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}$   $\displaystyle \left(C\right)$
Tập xác định: $\displaystyle D =\mathbb R$
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y’ = 2x^3- 6x  = 2x\left(x^2– 3\right)$
$\displaystyle \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\displaystyle \left(-\infty;-\sqrt3\right)$ và $\displaystyle \left(0;\sqrt3\right)$, đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left(-\sqrt 3;0\right)$ và $\displaystyle \left(\sqrt3;+\infty\right)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $\displaystyle x=0$ ; $\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}$
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $\displaystyle x=-\sqrt3$ và $\displaystyle x=\sqrt3$ ; $\displaystyle y_{CT}=y\left(\pm\sqrt3\right)=-3$
- Giới hạn:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow  \pm \infty }  =  + \infty $
- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục $\displaystyle Oy$ làm trục đối xứng.

Câu b​

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị $\displaystyle \left(C\right)$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $\displaystyle f’’\left(x\right) = 0.$
Phương pháp giải:
Giải phương trình $\displaystyle f''\left(x\right)=0$ để tìm $\displaystyle x_0.$ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle \left(C\right)$ theo công thức: $\displaystyle y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y\left(x_0\right).$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\displaystyle y’’ = 6x^2– 6$
$\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 $ $⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.$
Có $\displaystyle y’\left(-1\right) = 4;   y’\left(1\right) = -4;   y\left(± 1\right) = -1$
Tiếp tuyến của $\displaystyle \left(C\right)$ tại điểm $\displaystyle \left(-1, -1\right)$ là : $\displaystyle y = 4\left(x+1\right) – 1= 4x+3.$
Tiếp tuyến của $\displaystyle \left(C\right)$ tại điểm $\displaystyle \left(1, -1\right)$ là: $\displaystyle y = -4\left(x-1\right) – 1 = -4x + 3.$

Câu c​

c) Biện luận theo tham số $\displaystyle m$ số nghiệm của phương trình: $\displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.$
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng: $\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \dfrac{m}{2}. $ Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m $ $\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}$  (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của $\displaystyle \left(C\right)$ và đường thẳng (d) : $\displaystyle y = {m \over 2}$
Từ đồ thị ta thấy:
$\displaystyle \dfrac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6$ thì d và (C) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.
$\displaystyle \dfrac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6$  thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
$\displaystyle -3 < \dfrac{m}{2}<\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3$  thì d và (C) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.
$\displaystyle \dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3$  thì d và (C) có 3 điểm chung nên (1) có 3 nghiệm.
$\displaystyle \dfrac{m}{2}> \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3$  thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
Vậy:
+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.
+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.
+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.
+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.