Google
Câu hỏi: Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Phương pháp giải:
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left(a; b\right).$
a) Nếu $f'\left(x\right)> 0$ với mọi $x \in\left(a; b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x \in\left(a; b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải chi tiết:
* Xét hàm số: $\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7$
Tập xác định: $\displaystyle D =\mathbb R$
Ta có: $\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}$
Hàm số đồng biến $\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0$ $ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}$
Hàm số nghịch biến $\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}$
Vậy hàm số đồng biến trong $\displaystyle \left({1 \over 3},1\right)$ và nghịch biến trong $\displaystyle \left( - \infty ,{1 \over 3}\right) $ và $\displaystyle \left(1, + \infty \right).$
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: $\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}$
Tập xác định: $\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} $
Ta có: $\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{\left(1-x\right)^2}= {{ - 4} \over {{{\left(1 - x\right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng $\displaystyle \left(-∞,1\right)$ và $\displaystyle \left(1, +∞\right)$.
Câu a
$\displaystyle y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7$Phương pháp giải:
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left(a; b\right).$
a) Nếu $f'\left(x\right)> 0$ với mọi $x \in\left(a; b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x \in\left(a; b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải chi tiết:
* Xét hàm số: $\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7$
Tập xác định: $\displaystyle D =\mathbb R$
Ta có: $\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}$
Hàm số đồng biến $\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0$ $ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}$
Hàm số nghịch biến $\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}$
Vậy hàm số đồng biến trong $\displaystyle \left({1 \over 3},1\right)$ và nghịch biến trong $\displaystyle \left( - \infty ,{1 \over 3}\right) $ và $\displaystyle \left(1, + \infty \right).$
Câu b
$\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}$Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: $\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}$
Tập xác định: $\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} $
Ta có: $\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{\left(1-x\right)^2}= {{ - 4} \over {{{\left(1 - x\right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng $\displaystyle \left(-∞,1\right)$ và $\displaystyle \left(1, +∞\right)$.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!