Google
Câu hỏi: Cho hàm số: $y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1$ ( $m$ là tham số) có đồ thị $\left(C_m\right).$
Phương pháp giải:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: $y'=0.$ Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình $y'=0.$
Lời giải chi tiết:
$y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1$ $\left(C_m\right).$
Tập xác định: $D =\mathbb R$
Ta có: $y' = -4x^3+ 4mx = -4x \left(x^2- m\right)$
$\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x\left(x^2-m\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..$
+) Với $m ≤ 0$ thì $y’$ có một nghiệm $x = 0$ và đổi dấu $+$ sang $–$ khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là $x = 0$
+) Với $m>0$ phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là $x = ± \sqrt m$ và có một điểm cực tiểu là $x = 0$.
Phương pháp giải:
$\left(C_m\right)$ cắt trục hoành $\Leftrightarrow $ phương trình $y=f\left(x\right)=0$ có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ và trục hoành là:
$\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}$
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm $x = ± 1$ với mọi m nên $\left(C_m\right)$ luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ $\dfrac{1}{2}$
Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)
- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; $ \pm \sqrt m $
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)2 ≥ 0 $ \Leftrightarrow m \ne 1$
Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (Cm) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.
Phương pháp giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow $ phương trình $y'=f'\left(x\right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với $m > 0$ thì đồ thị $\left(C_m\right)$ có cực đại và cực tiểu.
Câu a
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.Phương pháp giải:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: $y'=0.$ Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình $y'=0.$
Lời giải chi tiết:
$y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1$ $\left(C_m\right).$
Tập xác định: $D =\mathbb R$
Ta có: $y' = -4x^3+ 4mx = -4x \left(x^2- m\right)$
$\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x\left(x^2-m\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..$
+) Với $m ≤ 0$ thì $y’$ có một nghiệm $x = 0$ và đổi dấu $+$ sang $–$ khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là $x = 0$
+) Với $m>0$ phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là $x = ± \sqrt m$ và có một điểm cực tiểu là $x = 0$.
Câu b
b) Với giá trị nào của m thì $\left(C_m\right)$ cắt trục hoành?Phương pháp giải:
$\left(C_m\right)$ cắt trục hoành $\Leftrightarrow $ phương trình $y=f\left(x\right)=0$ có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ và trục hoành là:
$\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}$
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm $x = ± 1$ với mọi m nên $\left(C_m\right)$ luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ $\dfrac{1}{2}$
Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)
- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; $ \pm \sqrt m $
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)2 ≥ 0 $ \Leftrightarrow m \ne 1$
Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (Cm) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.
Câu c
c) Xác định m để $\left(C_m\right)$ có cực đại, cực tiểu.Phương pháp giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow $ phương trình $y'=f'\left(x\right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với $m > 0$ thì đồ thị $\left(C_m\right)$ có cực đại và cực tiểu.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!