Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số:  $f\left(x\right)= x^3– 3mx^2+ 3\left(2m-1\right)x + 1$ ( $m$ là tham số).

Câu a​

a) Xác định $m$ để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Phương pháp giải:
Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên tập xác định $ \Leftrightarrow f'\left(x\right) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
Lời giải chi tiết:
$y=f\left(x\right)= x^3– 3mx^2+ 3\left(2m-1\right)x + 1$
Tập xác định: $D =\mathbb R$
$y’= 3x^2-6mx + 3\left(2m-1\right)\\ = 3\left(x^2– 2mx + 2m – 1\right)$
Hàm số đồng biến trên $D =\mathbb R $ $⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R$
$⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R$
$⇔ Δ’  \leq 0 \\  ⇔ m^2– 2m + 1  \leq 0 \\  ⇔ \left(m-1\right)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.$
(Vì ${\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$ nên  ${\left( {m - 1} \right)^2} \le 0$ chỉ xảy ra khi m-1=0)

Câu b​

b) Với giá trị nào của tham số $m$, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
$⇔$ phương trình $y’= 0$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$⇔ \Delta' >0 ⇔ \left(m-1\right)^2> 0 ⇔ m≠1.$

Câu c​

c) Xác định $m$ để $f’’\left(x\right)>6x.$
Phương pháp giải:
Tính $f''\left(x\right)$ sau đó giải bất phương trình  $f’’\left(x\right)>6x.$
Lời giải chi tiết:
$f’’\left(x\right) = 6x – 6m $
$f''\left(x\right) > 6x ⇔6x – 6m > 6x$
$⇔ -6m > 0$
$⇔ m < 0.$