Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số $y = 2x^2 + 2mx + m -1$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$, $m$ là tham số.

Câu a​

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 1$
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
$y = 2x^2 + 2mx + m -1$   $\left(C_m\right)$ . Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) Với $m = 1$ ta có hàm số: $y = 2x^2+ 2x.$
Tập xác định $D =\mathbb R$
* Sự biến thiên:
Ta có: $y'=4x+2.$
$\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow  4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -{{  1} \over 2} $
+) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-{1\over2};+\infty\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -{1\over2}\right)$
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-{1\over2}$ ; $y_{CT}=-{1\over 2}$
+) Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } y = + \infty $
Bảng biến thiên:

*Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục $Ox$ tại hai điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(0;0\right)$
Cắt Oy tại (0; 0).

Câu b​

b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng $\left(-1, +∞\right)$
- Có cực trị trên khoảng $\left(-1, +∞\right)$
Phương pháp giải:
Hàm số đồng biến trên $ \left(a; b\right)  \Leftrightarrow y' \ge 0 \forall x \ne \left( {a; b} \right).$
+) Hàm số đồng biến trên $ \left(a; b\right)  \Leftrightarrow y' \le 0 \forall x \ne \left( {a; b} \right).$
Lời giải chi tiết:
Tổng quát $y = 2x^2+ 2mx + m -1$ có tập xác định $D = \mathbb R$
Có $y' = 4x + 2m = 0 \Rightarrow y'=0 $
$\Leftrightarrow 4x+2m=0 \Leftrightarrow x = -{{  m} \over 2}$
Suy ra $y’ >$ 0 với $x > -{{  m} \over 2};y' < 0$  với $x < -{{  m} \over 2}$  , tức là hàm số nghịch biến trên $\left( - \infty ;-{{  m} \over 2}\right)$  và đồng biến trên $\left(-{{ m} \over 2}; + \infty \right)$
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1, +∞\right)$ thì phải có điều kiện $\left( - 1;{\rm{ }} + \infty \right)  \subset  \left(-{{  m} \over 2}; + \infty \right)$
$ \Leftrightarrow -{{ m} \over 2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2$
ii) Hàm số đạt cực trị tại   $x = -{{  m} \over 2}$  .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng $\left(-1; +∞\right)$, ta phải có:
$\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in \left( - 1, + \infty \right) \cr 
& \Leftrightarrow -{{  m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} $

Câu c​

c) Chứng minh rằng  $\left(C_m\right)$  luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi  $m \Leftrightarrow y=f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$
Lời giải chi tiết:
$\left(C_m\right)$  luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $x = -{{ m} \over 2}$
$⇔$ phương trình $2x^2+ 2mx + m – 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: $Δ’ = m^2– 2m + 2 $ $= \left(m-1\right)^2+ 1 > 0 ∀m$
Vậy $\left(C_m\right)$  luôn cắt $O x$ tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy: $ - \dfrac{{{m^2}}}{2} + m - 1$ $ =  - \frac{1}{2}\left({{m^2} - 2m + 2} \right)$ $ =  - \dfrac{1}{2}{\left( {m - 1} \right)^2} - \dfrac{1}{2} < 0$  với mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).