Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC.\) Lấy các điểm \(D, E, F\) theo thứ tự thuộc các cạnh \(AB, BC, CA\) sao cho \(AD = BE = CF.\) Chứng minh rằng \(∆DEF\) là tam giác đều.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Tam giác đều có ba góc bằng nhau và cùng bằng \(60^o\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(AB = AD + DB\) (1)
\(BC = BE + EC\) (2)
\(AC = AF + FC\) (3)
\(AB = AC = BC\) (vì tam giác ABC là tam giác đều) (4)
\(AD = BE = CF\) (gt) (5)
Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:
\(BD = EC = AF\)
Xét \(∆ADF\) và \(∆BED\) có:
\( AD = BE \) (gt)
\(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\(AF = BD\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆BED \) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = ED\) (hai cạnh tương ứng) (6)
Xét \(∆ADF\) và \(∆CFE\) có:
\( AD = CF\) (gt)
\(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\( AF=EC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = FE\) (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(DF = ED = FE\).
Vậy \(∆DEF\) đều.
Sử dụng:
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Tam giác đều có ba góc bằng nhau và cùng bằng \(60^o\).
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ đều$. D \in A B, E \in B C, F \in A C \mid A D=B E=C F$ |
| KL | $\Delta D E F$ đều |
Ta có:
\(AB = AD + DB\) (1)
\(BC = BE + EC\) (2)
\(AC = AF + FC\) (3)
\(AB = AC = BC\) (vì tam giác ABC là tam giác đều) (4)
\(AD = BE = CF\) (gt) (5)
Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:
\(BD = EC = AF\)
Xét \(∆ADF\) và \(∆BED\) có:
\( AD = BE \) (gt)
\(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\(AF = BD\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆BED \) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = ED\) (hai cạnh tương ứng) (6)
Xét \(∆ADF\) và \(∆CFE\) có:
\( AD = CF\) (gt)
\(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\( AF=EC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = FE\) (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(DF = ED = FE\).
Vậy \(∆DEF\) đều.