Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau ở \(I.\) Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(BC.\) Gọi giao điểm của đường thẳng này với \(AB, AC\) theo thứ tự là \(D, E.\) Chứng minh rằng \( DE = BD + CE.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \(DI // BC\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc so le trong) (1)
Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat B\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\)
\( \Rightarrow ∆BDI\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow BD = DI \) (3)
Vì \(IE // BC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc so le trong) (4)
Lại có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (vì \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {{C}}\)) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\)
\( \Rightarrow ∆CEI\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow CE = EI\) (6)
Từ (3) và (6) suy ra: \(BD + CE = DI + EI = DE.\)
Sử dụng:
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C, B I, C I$ lần lượt là tia phân giác $\widehat{B}, \widehat{C}$. $D E / / B C, I \in D E, D \in A B, E \in A C$ |
| KL | $D E=B D+C E$ |
Vì \(DI // BC\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc so le trong) (1)
Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat B\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\)
\( \Rightarrow ∆BDI\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow BD = DI \) (3)
Vì \(IE // BC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc so le trong) (4)
Lại có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (vì \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {{C}}\)) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\)
\( \Rightarrow ∆CEI\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow CE = EI\) (6)
Từ (3) và (6) suy ra: \(BD + CE = DI + EI = DE.\)