Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có cạnh bên bằng \(3cm.\) Gọi \(D\) là một điểm thuộc đáy \(BC.\) Qua \(D,\) kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(F\) và \(E.\) Tính tổng \(DE + DF.\)
Phương pháp giải
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \(DF // AC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) (1)
Lại có \(∆ABC \) cân tại \(A\).
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\) do đó \(∆BFD\) cân tại \(F\).
\( \Rightarrow BF = DF\) (tính chất tam giác cân).
Nối \(AD\).
Vì \(DF//AC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (hai góc so le trong).
Vì \(DE//AB\) nên \(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (hai góc so le trong).
Xét \(∆AFD\) và \( ∆DEA\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (chứng minh trên)
\(AD\) cạnh chung
\(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆AFD = ∆DEA\) (g.c.g)
\( \Rightarrow AF = DE\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(DE + DF = AF + BF = AB \)\( = 3 (cm)\).
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\Delta A B C$ cân tại $A$ có $A B=A C=3 \mathrm{~cm}$. $D \in B C, D F / / A C(F \in A B), D E / / A B(E \in A C)$ |
| KL | $D E+D F=?$ |
Vì \(DF // AC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) (1)
Lại có \(∆ABC \) cân tại \(A\).
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\) do đó \(∆BFD\) cân tại \(F\).
\( \Rightarrow BF = DF\) (tính chất tam giác cân).
Nối \(AD\).
Vì \(DF//AC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (hai góc so le trong).
Vì \(DE//AB\) nên \(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (hai góc so le trong).
Xét \(∆AFD\) và \( ∆DEA\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (chứng minh trên)
\(AD\) cạnh chung
\(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆AFD = ∆DEA\) (g.c.g)
\( \Rightarrow AF = DE\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(DE + DF = AF + BF = AB \)\( = 3 (cm)\).