Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số có đồ thị là , là tham số.

Câu a​

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
  . Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) Với ta có hàm số:
Tập xác định
* Sự biến thiên:
Ta có:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại ;
+) Giới hạn:

Bảng biến thiên:

*Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục tại hai điểm và
Cắt Oy tại (0; 0).

Câu b​

b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng
- Có cực trị trên khoảng
Phương pháp giải:
Hàm số đồng biến trên
+) Hàm số đồng biến trên
Lời giải chi tiết:
Tổng quát có tập xác định
Có

Suy ra 0 với  với  , tức là hàm số nghịch biến trên  và đồng biến trên
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng thì phải có điều kiện

ii) Hàm số đạt cực trị tại    .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng , ta phải có:

Câu c​

c) Chứng minh rằng   luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi .
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi  có hai nghiệm phân biệt với mọi
Lời giải chi tiết:
 luôn cắt tại hai điểm phân biệt
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Vậy  luôn cắt tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy:  với mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).