Google
Câu hỏi: Cho \({z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({z_1} + {z_2} \in \mathbb{R}\)
B. \({z_1}.{z_2} \in \mathbb{R}\)
C. \({z_1} - {z_2} \in \mathbb{R}\)
D. \(z_1^2 + z_2^2 \in \mathbb{R}\)
A. \({z_1} + {z_2} \in \mathbb{R}\)
B. \({z_1}.{z_2} \in \mathbb{R}\)
C. \({z_1} - {z_2} \in \mathbb{R}\)
D. \(z_1^2 + z_2^2 \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải
Sử dụng định lý Vi – et cho phương trình bậc hai:
Cho phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực \(a{z^2} + bz + c = 0\). Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a} \in \mathbb{R}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a} \in \mathbb{R}\end{array} \right.\) nên A, B đúng.
: \({z_1} - {z_2}\) chưa chắc thuộc \(\mathbb{R}\), trong trường hợp \({z_1},{z_2}\) không phải số thực thì điều này không đúng.
: \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\) \(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 2.\dfrac{c}{a} \in \mathbb{R}\).
D đúng.
Sử dụng định lý Vi – et cho phương trình bậc hai:
Cho phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực \(a{z^2} + bz + c = 0\). Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a} \in \mathbb{R}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a} \in \mathbb{R}\end{array} \right.\) nên A, B đúng.
: \({z_1} - {z_2}\) chưa chắc thuộc \(\mathbb{R}\), trong trường hợp \({z_1},{z_2}\) không phải số thực thì điều này không đúng.
: \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\) \(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 2.\dfrac{c}{a} \in \mathbb{R}\).
D đúng.
Đáp án C.